Βάζουμε σε μια κατσαρόλα το βούτυρο να λιώσει. Στη συνέχεια προσθέτουμε το αλεύρι και το σοτάρουμε για λίγα λεπτά, ανακατεύοντας συνεχώς. Ρίχνουμε το χλιαρό γάλα και το ανακατεύουμε δυνατά μέχρι να γίνει κρέμα και να μην έχει σβόλους. Προσθέτουμε το αλατοπίπερο,το μοσχοκάρυδο και το τυρί και ανακατεύουμε. Αποσύρουμε από τη φωτιά και ρίχνουμε το αβγό, το ανακατεύουμε για να ενωθεί με τη μπεσαμέλ μας.